Aratati ca numarul \[ x= 9 \cdot 2^{n+2} \cdot 5^{n+1} + 10^{n+2} -3 \cdot 2^{n+1} \cdot 5^{n+2} \] este divizibil cu 13, oricare ar fi \[ n \in \mathbb{N} \]
\[ x= 9 \cdot 2^{n+2} \cdot 5^{n+1} + 10^{n+2} -3 \cdot 2^{n+1} \cdot 5^{n+2} \: \vdots \: 13 \]
\[ x = 9 \cdot 2^n \cdot 2^2 \cdot 5^n \cdot 5^1 + 10^n \cdot 10^2 - 3 \cdot 2^n \cdot 2^1 \cdot 5^n \cdot 5^2 \]
\[ x = 180 \cdot (2 \cdot 5)^n + 10^n \cdot 100 - 6 \cdot (2 \cdot 5)^n \cdot 25 \]
\[ x = 180 \cdot 10^n + 10^n \cdot 100 - 150 \cdot 10^n \]
\[ x = 10^n(180+100-150)\]
\[ x = 10^n \cdot 130 \: \vdots \: 13\]
deoarece 130 se imparte exact la 13
Mai putem spune ca \[ 130 \: \vdots \: 13 \] deoarece :
Ce formule am folosit in acest exercitiu?
\[ a^{m+n} = a^m \cdot a^n \]
\[ (a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m \]